Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 6}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{3}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.3

Associez $5$ et $\frac{3}{10}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{15}{10}$ et $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $10$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Additionnez $- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{12}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $6 x^{3}$ par $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 4 x + 6$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{3} - 4 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$18 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 x^{2} - 4 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $18 x^{2} - 4$ et $0$ .

$f''' (x) = 18 x^{2} - 4$