Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

Étape 2.6.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$