Calcul infinitésimal Exemples

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (7 - 10 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}$ et $g (x) = 7 - 10 x^{2}$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [7 - 10 x^{2}] + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 10 (2 x)) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 10] + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 10] + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.8

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.12

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + 2 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(- 10 + 9 \frac{1}{x^{3}} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + 2 x)$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(- 10 + 9 \frac{1}{x^{3}} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- 20 x) + 9 \frac{1}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 20$ par $- 10$ .

$200 x + 9 \frac{1}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.2

Associez $9$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$200 x + \frac{9}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.3

Associez $- 20$ et $\frac{9}{x^{3}}$ .

$200 x + \frac{- 20 \cdot 9}{x^{3}} x + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 20$ par $9$ .

$200 x + \frac{- 180}{x^{3}} x + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.5

Associez $\frac{- 180}{x^{3}}$ et $x$ .

$200 x + \frac{- 180 x}{x^{3}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 180 x$ .

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x^{3}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x \cdot x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x \cdot x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$200 x + \frac{- 180}{x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.8.1

Déplacez $x$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x \cdot x^{2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{1} x^{2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{1 + 2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{3} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.9

Déplacez $- 20$ à gauche de $x^{3}$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 \cdot x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.10

Associez $- 27$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (\frac{- 27}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x)$

Étape 3.4.12

Pour écrire $(7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$200 x - 20 x^{3} - \frac{180}{x^{2}} + \frac{(7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$200 x - 20 x^{3} + \frac{- 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.14

Pour écrire $200 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 20 x^{3} + \frac{200 x \cdot x^{2} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.16

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.16.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 (x^{2} x) - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.16.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.16.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 (x^{2} x^{1}) - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 x^{3} + \frac{200 x^{2 + 1} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.16.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.17

Pour écrire $- 20 x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- 20 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.18

Associez $- 20 x^{3}$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 20 x^{3} x^{2}}{x^{2}} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 x^{3} x^{2} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.20

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.20.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 20 (x^{2} x^{3}) + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 20 x^{2 + 3} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.4.20.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + x^{2} (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} (- \frac{27}{x^{4}}) + x^{2} (2 x)) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- x^{2} \frac{27}{x^{4}} + x^{2} (2 x)) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- x^{2} \frac{27}{x^{4}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.6.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{4}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{2} x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{2} x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 (x \cdot x^{2})) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.6.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 (x^{1} x^{2})) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{1 + 2}) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{3}) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.5

Développez $(- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{3}) (7 - 10 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} (7 - 10 x^{2}) + 2 x^{3} (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} \cdot 7 - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} \cdot 7 - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.6.1

Multipliez $- \frac{27}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Étape 3.6.6.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - 7 \frac{27}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{27}{x^{2}}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + \frac{- 7 \cdot 27}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.1.3

Multipliez $- 7$ par $27$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + \frac{- 189}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.6.6.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (x^{2} \cdot - 10) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (x^{2} \cdot - 10) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} - 27 \cdot - 10 + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.4

Multipliez $- 27$ par $- 10$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{3} x^{2} - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.7

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.6.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 (x^{2} x^{3}) - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{2 + 3} - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.7.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{5} - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.6.8

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} - 20 x^{5} - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.7

Soustrayez $20 x^{5}$ de $- 20 x^{5}$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.8

Additionnez $200 x^{3}$ et $14 x^{3}$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 214 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 - 180}{x^{2}}$

Étape 3.6.9

Soustrayez $180$ de $270$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 214 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.10

Pour écrire $- 40 x^{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{214 x^{3} - 40 x^{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.11

Associez $- 40 x^{5}$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{5} x^{2}}{x^{2}} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{5} x^{2} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.13

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.13.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 (x^{2} x^{5}) - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{2 + 5} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.13.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.14

Pour écrire $214 x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{214 x^{3} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{214 x^{3} x^{2} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.16.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.16.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\frac{214 (x^{2} x^{3}) - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{214 x^{2 + 3} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.16.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{\frac{214 x^{5} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Étape 3.6.17

Pour écrire $90$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189}{x^{2}} + \frac{90 x^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.6.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189 + 90 x^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.6.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2} x^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2 + 2}}$

Étape 3.8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 40 x^{7}$ .

$\frac{- (40 x^{7}) + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $214 x^{5}$ .

$\frac{- (40 x^{7}) - (- 214 x^{5}) + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Étape 3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 x^{7}) - (- 214 x^{5})$ .

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5}) + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Étape 3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $90 x^{2}$ .

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5}) - (- 90 x^{2}) - 189}{x^{4}}$

Étape 3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 x^{7} - 214 x^{5}) - (- 90 x^{2})$ .

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 189}{x^{4}}$

Étape 3.14

Réécrivez $- 189$ comme $- 1 (189)$ .

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 1 (189)}{x^{4}}$

Étape 3.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 1 (189)$ .

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)}{x^{4}}$

Étape 3.16

Réécrivez $- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)$ comme $- 1 (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)$ .

$\frac{- 1 (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)}{x^{4}}$

Étape 3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189}{x^{4}}$