Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} x^{3} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{4}}{4}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 6.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 6.4

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 6.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 6.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 6.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Pour écrire $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.2

Associez $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (e) e^{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - 4 (\frac{1}{4}) (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 4}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 6.8.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Forme décimale :

$10.29965313 \dots$