Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Étape 6

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Étape 11.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $4$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3

Simplifiez

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Étape 11.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.9

Soustrayez $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.10

Associez $3$ et $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.11

Multipliez $3$ par $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.12

Annulez le facteur commun à $42$ et $3$ .

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Étape 11.1.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3.12.2.4

Divisez $14$ par $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Étape 11.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Étape 11.3.3

Divisez $4$ par $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Étape 12.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$14 - 4 \ln (2)$

Forme décimale :

$11.22741127 \dots$

Étape 14