Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Alors $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Divisez $2$ par $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$