Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 4}{5 x - 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{5 x - 3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 4$ et $g (x) = 5 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + 0)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.10.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \cdot 5}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.10.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (5 x) + 2 \cdot - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Soustrayez $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$