Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

Étape 1.2

Résolvez $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ par $\tan (5 x)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ par $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (5 x)$ .

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Étape 1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1.2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1.2.1.3.2

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 1.2.1.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Étape 1.2.1.3.4

Écrivez $\sin (5 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Étape 1.2.1.3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (5 x)$ .

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Étape 1.2.1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Étape 1.2.1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

Étape 1.2.1.3.6

Divisez $2$ par $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’équation comme $2 \cos (5 x) = 1$ .

$2 \cos (5 x) = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 \cos (5 x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (5 x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\cos (5 x)$ par $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 1.2.6.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 1.2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Étape 1.2.6.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Étape 1.2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez

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Étape 1.2.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.8.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 1.2.8.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 1.2.8.1.5

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Étape 1.2.8.2

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{5 π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{5 π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 1.2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 1.2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 1.2.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 1.2.8.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.8.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 1.2.8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 1.2.8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 1.2.9

Déterminez la période de $\cos (5 x)$ .

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Étape 1.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Étape 1.2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\cos (5 x)$ est $\frac{2 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ dans $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

Étape 1.4.2

Simplifiez $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.4.2.2

Associez $5$ et $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Étape 1.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.5

Indiquez toutes les solutions.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{π}{15}$ et $\frac{π}{15}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

Étape 3.3

Convertissez de $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ à $\tan (5 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.6

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Alors $d u_{1} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.6.1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.6.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.6.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Étape 3.6.3

Simplifiez

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Étape 3.6.3.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{15}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Étape 3.6.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Étape 3.6.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Étape 3.6.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Étape 3.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Étape 3.6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.6.5.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Étape 3.6.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Étape 3.6.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 3.6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 3.6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.7

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.8

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.10

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Étape 3.12

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Alors $d u_{2} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.12.1

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.12.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.12.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.12.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Étape 3.12.3

Simplifiez

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Étape 3.12.3.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{15}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Étape 3.12.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Étape 3.12.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Étape 3.12.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Étape 3.12.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Étape 3.12.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Étape 3.12.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.12.5.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Étape 3.12.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Étape 3.12.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 3.12.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 3.12.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 3.13

Associez $\tan (u_{2})$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

Étape 3.14

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Étape 3.15

L’intégrale de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Étape 3.16

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.16.1

Évaluez $- \cos (u_{1})$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Étape 3.16.2

Évaluez $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Étape 3.16.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Étape 3.17

Simplifiez

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Étape 3.17.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Étape 3.17.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Étape 3.17.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Étape 3.17.4

Associez $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.5

Pour écrire $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.6

Associez $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.8

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.10

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 3.17.10.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.17.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.17.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.18.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.18.6.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.6.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

Étape 3.18.6.3

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

Étape 3.18.6.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

Étape 3.18.7

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

Étape 3.18.8

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

Étape 3.18.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

Étape 3.18.10

Réduisez l’expression $\frac{0 + 0}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.18.10.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

Étape 3.18.10.2

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

Étape 3.18.10.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

Étape 3.18.10.4

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

Étape 3.18.10.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

Étape 3.18.10.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 + 0}{1}$

Étape 3.18.11

Divisez $0 + 0$ par $1$ .

$0 + 0$

Étape 3.18.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4