Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

Étape 1

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 5

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.7

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

Étape 7.10

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{2}} d t$

Étape 7.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

Étape 7.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Étape 7.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Étape 7.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{1}} d t$

Étape 7.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{0} d t$

Étape 7.12

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 1 d t$

Étape 7.13

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Étape 11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 d t$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

Étape 14.2

Simplifiez

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

Étape 14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$