Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.7

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Étape 3.9

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

Étape 3.10

Réorganisez les facteurs de $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{2}{π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

Étape 7

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ à $\sec (π \cdot 1)$ .

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

Étape 9.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{2}{π} \sec (π)$

Étape 9.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

Étape 9.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

Étape 9.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

Étape 9.6

Multipliez $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Étape 9.6.1

Associez $\frac{2}{π}$ et $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

Étape 9.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{π}$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{π}$