Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (1 - x)$

Étape 1

Écrivez $\ln (1 - x)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (1 - x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Étape 5

Associez $x$ et $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 7.1.2

Multipliez $\int \frac{x}{1 - x} d x$ par $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Étape 8

Divisez $x$ par $- x + 1$ .

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Étape 8.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 11

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 11.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$