Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{t} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + 0}$

Étape 1.3.6

Additionnez $e^{t}$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{e^{0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$