Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{3 x + 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \csc^{2} (\frac{x}{2})$ et $g (x) = 3 x + 4$ .

$\frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (\frac{x}{2})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 4) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{(3 x + 4) (2 \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $3 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 6

Élevez $\csc (\frac{x}{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 7

Élevez $\csc (\frac{x}{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc^{1} (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (3 x + 4) {\csc (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.2

Associez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ et $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2} (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.3

Associez $\cot (\frac{x}{2})$ et $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2}$ .

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2)}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \cdot \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.5.1

Factorisez $2$ à partir de $\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 (1)} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 \cdot 1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.5.2.4

Divisez $\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ par $1$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 13

Multipliez $\cot (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 15

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 17

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 18

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 19

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 19.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1 \cdot 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.4

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Étape 20.4.1

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.4.2

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.4.3

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.4.4

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.4.5

Factorisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.10

Réécrivez $- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ comme $- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Étape 20.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$