Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - r^{2}}} d r$

Étape 1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - r^{2}}} d r$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - r^{2}}}$ par rapport à $r$ est $\arcsin (r)$

$\arcsin (r)]_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\arcsin (r)$ sur $\sqrt{\frac{3}{2}}$ et sur $0$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}) - \arcsin (0)$

Étape 3.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) - \arcsin (0)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) - 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) + 0$

Étape 3.3.3

Additionnez $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ et $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Étape 4