Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} + k^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{2 x + 4}{x - 1}, x > 2 \end{cases}$

Étape 1

Déterminez la limite de $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ lorsque $x$ approche de $2$ depuis le côté droit.

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Étape 1.1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté droit.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 4}{x - 1}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Étape 1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Étape 1.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 1}$

Étape 1.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.8

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{2 - 1}$

Étape 1.9.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{8}{1}$

Étape 1.9.3

Divisez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 2

Évaluez $x^{2} + k^{2}$ sur $2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

${(2)}^{2} + k^{2}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + k^{2}$

Étape 3

Comme la limite de $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ lorsque $x$ approche de $2$ depuis le côté droit n’est pas égale à la valeur de la fonction sur $x = 2$ , la fonction n’est pas continue sur $x = 2$ .

Pas continu

Étape 4