Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Étape 4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 6

Développez $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.5

Simplifiez

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.10

Déplacez $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Étape 13.2

Simplifiez

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$