Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (5 x^{2} + \sqrt{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.4

Soustrayez $1$ de $64$ .

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 7.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.5.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.6

Multipliez $5$ par $21$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $8$ .

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.12

Multipliez $2$ par $8$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 7.3.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 7.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

Étape 7.3.16

Soustrayez $2$ de $16$ .

$105 + \frac{14}{3}$

Étape 7.3.17

Pour écrire $105$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Étape 7.3.18

Associez $105$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Étape 7.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

Étape 7.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.20.1

Multipliez $105$ par $3$ .

$\frac{315 + 14}{3}$

Étape 7.3.20.2

Additionnez $315$ et $14$ .

$\frac{329}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{329}{3}$

Forme décimale :

$109.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$109 \frac{2}{3}$

Étape 9