Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{y} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y - x^{2} y'$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Étape 5.2.2.1.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Étape 5.2.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Étape 5.2.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Étape 5.2.2.1.5

Déplacez $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Étape 5.2.2.1.6

Remettez dans l’ordre $2 x y$ et $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $y' x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ par $y^{2} e^{y} + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ par $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$