Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{y x + 6}{2 x - 7} = 4$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{y x}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 7}{x}} = 4$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{y x}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 7}{x}} = 4$

Étape 2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{y + \frac{6}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 7}{x}} = 4$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{y + \frac{6}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 7}{x}} = 4$

Étape 2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{y + \frac{6}{x}}{2 + \frac{- 7}{x}} = 4$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{y + \frac{6}{x}}{2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} y + \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} y + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $y$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{y + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 2.6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{y + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{y + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x}} = 4$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{y + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}} = 4$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{y + 6 \cdot 0}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}} = 4$

Étape 4.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{y + 6 \cdot 0}{2 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} = 4$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{y + 6 \cdot 0}{2 - 7 \cdot 0} = 4$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{y + 0}{2 - 7 \cdot 0} = 4$

Étape 6.1.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{y}{2 - 7 \cdot 0} = 4$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{y}{2 + 0} = 4$

Étape 6.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{y}{2} = 4$