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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.1.2.1
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 1.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.3
La valeur exacte de est .
Étape 1.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.1.3.1
Évaluez la limite.
Étape 1.1.3.1.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 1.1.3.1.2
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.3.1.3
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.1.3.1.4
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 1.1.3.1.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.3.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.3.3.1.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 1.1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.1.3.3.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3.3.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 1.1.3.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 1.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 1.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 1.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.4
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.6
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 1.3.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.8
Additionnez et .
Étape 1.3.9
Associez et .
Étape 1.3.10
Associez et .
Étape 1.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5
Associez et .
Étape 2
Étape 2.1
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 2.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.3
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.4
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 2.5
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.6
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 2.7
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 2.8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.9
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4
Étape 4.1
Associez.
Étape 4.2
Multipliez par .
Étape 4.3
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 4.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.4.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 4.4.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3
Multipliez par .
Étape 4.4.4
Soustrayez de .
Étape 4.4.5
La valeur exacte de est .
Étape 4.4.6
Multipliez par .
Étape 4.5
Multipliez par .
Étape 5
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :