Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} - 4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 3.6.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.6.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.6.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $4 e^{4 x} - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4 e^{4 x} - 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

Étape 4.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 5.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 5.1.3.1.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 5.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 5.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Étape 5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 5.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.4.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 5.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

Étape 5.3.6

Additionnez $4 e^{4 x}$ et $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Étape 6.4

Placez la limite dans l’exposant.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

Étape 6.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Étape 8.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{2 e^{0}}$

Étape 8.4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$