Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 42 - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 42 - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $42 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 3.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Étape 4.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$