Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 1

Divisez la fraction $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ en deux fractions.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{2} + 9$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{2} + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 7.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Étape 10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$