Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $2 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{2 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \cdot 2}$

Étape 1.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Étape 2.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Étape 2.1.3

Comme l’exposant $2 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{2 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \cdot 2}$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 x}}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{2 x}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$