Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{5}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2})$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

Étape 1.2.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{1}]$

Étape 1.2.2.2.4

Divisez $x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3] + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x (- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + 0) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9

Additionnez $- 12 x^{2} + 8 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \cdot 1)$

Étape 3.11

Multipliez $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2}) + x (8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} (- 12 (x^{1} x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} (- 12 x^{1 + 2}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} (- 12 x^{3}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.4

Associez $- 12$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 12}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.5

Associez $\frac{- 12}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 x^{3}}{1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.6.2.4

Divisez $- 4 x^{3}$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x^{1})) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{1 + 1}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.11

Associez $8$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.12

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.13

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.14

Associez $\frac{- 4}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.16

Pour écrire $- 4 x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - 4 x^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.17

Associez $- 4 x^{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3 - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.19

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 12 x^{3} - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.20

Soustrayez $4 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.22

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.23

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{8 x^{2} + 4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.25

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.26

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.3.26.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.26.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.26.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 4.3.27

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 3$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 3}{3}$

Étape 4.3.28

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.3.28.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Étape 4.3.28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.28.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Étape 4.3.28.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Étape 4.3.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.28.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 1$