Calcul infinitésimal Exemples

$8 (4^{x})$

Étape 1

Écrivez $8 (4^{x})$ comme une fonction.

$f (x) = 8 (4^{x})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Étape 4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Étape 4.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 + 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 + 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 5.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $2^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $2^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$