Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 11.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4

Simplifiez

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Étape 11.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.6

Associez $4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 11.2.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.12

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.13

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.15.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.15.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.16

Associez $2$ et $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.17

Multipliez $2$ par $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.18

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 11.2.4.18.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.18.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.19

Additionnez $3$ et $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.20

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 11.2.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

Étape 11.2.4.23

Soustrayez $1$ de $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

Étape 11.2.4.24

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 11.2.4.24.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Étape 11.2.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.24.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Étape 11.2.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

Étape 11.2.4.24.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

Étape 11.2.4.25

Multipliez $- 3$ par $21$ .

$18 - 63$

Étape 11.2.4.26

Soustrayez $63$ de $18$ .

$- 45$

Étape 12