Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} y)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$