Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 6}{1 + 4 x - 7 x^{2}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $- 7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Étape 8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 7}$

Étape 10

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{5 + 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{5 + 0 + 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2.1.3

Additionnez $5 + 0$ et $0$ .

$\frac{5 + 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2.1.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{5}{0 + 0 - 1 \cdot 7}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{5}{0 + 0 - 7}$

Étape 10.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{5}{0 - 7}$

Étape 10.2.2.4

Soustrayez $7$ de $0$ .

$\frac{5}{- 7}$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{7}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{7}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{714285}$