Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Étape 4.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ sur $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et sur $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est d’environ $- 1.15470053$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et retirez la valeur absolue

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Étape 5.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Étape 5.2.4

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Étape 5.3

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $2 π$ de $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.9

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.9.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Étape 5.9.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Étape 5.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{12}$ dans le numérateur.

$9 \frac{- π}{12}$

Étape 5.10.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Étape 5.10.3

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Étape 5.10.4

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Étape 5.10.5

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{- π}{4}$

Étape 5.11

Associez $3$ et $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Étape 5.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Étape 5.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 π}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 π}{4}$

Forme décimale :

$- 2.35619449 \dots$

Étape 7