Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Étape 1.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 t} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 1.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.4.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + 0}$

Étape 1.3.6

Additionnez $3 e^{3 t}$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{3} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Étape 2.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}$

Étape 2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 \cdot 0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Étape 4.2

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{0}}$

Étape 4.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 \cdot 1}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$