Calcul infinitésimal Exemples

y = \frac{1}{2} tan (2 x)

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

\frac{1}{2} \cdot tan (2 x)

$\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [tan (2 x)]

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [tan (2 x)]

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = tan (x)

$f (x) = \tan (x)$ et

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de

tan (u)

$\tan (u)$ par rapport à

u

$u$ est

{sec}^{2} (u)

$\sec^{2} (u)$ .

\frac{1}{2} ({sec}^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} ({sec}^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

\frac{1}{2} ({sec}^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez

{sec}^{2} (2 x)

$\sec^{2} (2 x)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{{sec}^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{{sec}^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.3.1

Associez

2

$2$ et

\frac{{sec}^{2} (2 x)}{2}

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

\frac{2 {sec}^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2.2

Divisez

$\sec^{2} (2 x)$ par

$1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez

$\sec^{2} (2 x)$ par

$1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = x^{2}$ et

$g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u_{1}$ comme

$\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est

$n {u_{1}}^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{1}$ par

$\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = \sec (x)$ et

$g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u_{2}$ comme

$2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de

$\sec (u_{2})$ par rapport à

$u_{2}$ est

$\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{2}$ par

$2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3

Élevez

$\sec (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.4

Élevez

$\sec (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.7

Comme

$2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$2 x$ par rapport à

$x$ est

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Étape 2.10

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à

$0$ et résolvez.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 5

Simplifiez

$\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Étape 5.3

Plus ou moins

$0$ est

$0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Étape 6

La plage de la sécante est

$y \leq - 1$ et

$y \geq 1$ . Comme

$0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur

$x =$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 8.1

Évaluez

$\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Étape 8.2

Élevez

$1.00060954$ à la puissance

$2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Étape 8.3

Multipliez

$4$ par

$1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Étape 8.4

Évaluez

$\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Étape 8.5

Multipliez

$4.00487784$ par

$0.03492076$ .

$0.13985341$

Étape 9

$x =$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x =$ est un minimum local

Étape 10

Ce sont les extrema locaux pour

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ est un minimum local

Étape 11