Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez $\sec^{2} (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.3.1

Associez $2$ et $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2.2

Divisez $\sec^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $\sec^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.4

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Étape 5.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Étape 6

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x =$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 8.1

Évaluez $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Étape 8.2

Élevez $1.00060954$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Étape 8.3

Multipliez $4$ par $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Étape 8.4

Évaluez $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Étape 8.5

Multipliez $4.00487784$ par $0.03492076$ .

$0.13985341$

Étape 9

$x =$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x =$ est un minimum local

Étape 10

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ est un minimum local

Étape 11