Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + x$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} (- x) + \sqrt{x^{2} + x + 1} x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Étape 2.2.2

Additionnez $x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Étape 3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.2.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 6.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1}$

Étape 9.2.2.6

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{- 2}$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$