Calcul infinitésimal Exemples

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Étape 1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Étape 2

Laissez $u = 5 x^{4} - 1$ . Alors $d u = 20 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 x^{4} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $20 x^{3}$ et $0$ .

$20 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{20}$ et $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Étape 3.2

Associez $\frac{\sec (u)}{20}$ et $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{20}$ et $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int \sec (u) \tan (u) d u$ par $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Étape 6

Comme la dérivée de $\sec (u)$ est $\sec (u) \tan (u)$ , l’intégrale de $\sec (u) \tan (u)$ est $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$