Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Étape 1.3.3

Additionnez $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.62662472$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.62662472$ à la puissance $3$ .

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $20$ par $- 4.30389932$ .

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 1.62662472$ .

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 86.07798657$ et $39.03899328$ .

$- 47.03899328 + 2$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 47.03899328$ et $2$ .

$- 45.03899328$

Étape 10

$x = - 1.62662472$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.62662472$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.62662472$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.62662472$ dans l’expression.

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 1.62662472$ à la puissance $5$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1.62662472$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4.30389932$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Étape 11.2.1.4

Élevez $- 1.62662472$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 11.38772158$ et $17.21559731$ .

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $5.82787573$ et $2.64590798$ .

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $8.47378371$ et $2$ .

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $10.47378371$ .

$y = 10.47378371$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

Étape 13.1.2

Multipliez $20$ par $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 13.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 14

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.16866593$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $0.16866593$ à la puissance $3$ .

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Étape 17.1.2

Multipliez $20$ par $0.00479824$ .

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 24$ par $0.16866593$ .

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $4.0479824$ de $0.09596483$ .

$- 3.95201757 + 2$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 3.95201757$ et $2$ .

$- 1.95201757$

Étape 18

$x = 0.16866593$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.16866593$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0.16866593$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0.16866593$ dans l’expression.

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Élevez $0.16866593$ à la puissance $5$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Étape 19.2.1.2

Élevez $0.16866593$ à la puissance $3$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0.00479824$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Étape 19.2.1.4

Élevez $0.16866593$ à la puissance $2$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $0.01919296$ de $0.0001365$ .

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 0.01905646$ et $0.02844819$ .

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $0.00939173$ et $2$ .

$f (0.16866593) = 2.00939173$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $2.00939173$ .

$y = 2.00939173$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1.45795878$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Élevez $1.45795878$ à la puissance $3$ .

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Étape 21.1.2

Multipliez $20$ par $3.09910108$ .

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Étape 21.1.3

Multipliez $- 24$ par $1.45795878$ .

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

Étape 21.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 21.2.1

Soustrayez $34.99101086$ de $61.98202173$ .

$26.99101087 + 2$

Étape 21.2.2

Additionnez $26.99101087$ et $2$ .

$28.99101087$

Étape 22

$x = 1.45795878$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1.45795878$ est un minimum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = 1.45795878$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $1.45795878$ dans l’expression.

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Élevez $1.45795878$ à la puissance $5$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Étape 23.2.1.2

Élevez $1.45795878$ à la puissance $3$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Étape 23.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $3.09910108$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Étape 23.2.1.4

Élevez $1.45795878$ à la puissance $2$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

Étape 23.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 23.2.2.1

Soustrayez $12.39640434$ de $6.58758507$ .

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

Étape 23.2.2.2

Additionnez $- 5.80881926$ et $2.12564382$ .

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

Étape 23.2.2.3

Additionnez $- 3.68317544$ et $2$ .

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $- 1.68317544$ .

$y = - 1.68317544$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ .

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ est un maximum local

$(0, 2)$ est un minimum local

$(0.16866593, 2.00939173)$ est un maximum local

$(1.45795878, - 1.68317544)$ est un minimum local

Étape 25