Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3.6.5

Simplifiez

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.5

Simplifiez

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Étape 1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Étape 1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

Étape 1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

Étape 1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

Étape 1.9

Associez $\frac{x + 1}{x}$ et $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Étape 1.10.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$