Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{3} = y^{3} - 4 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - 4 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' - 4 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$15 x^{2} = 3 y^{2} y' - 4 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$ .

$3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 4 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' = 15 x^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4 = 15 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$