Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} e^{x} - (x^{2} - 1) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} e^{x} d x + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Étape 3

Multipliez $- (x^{2} - 1)$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} - - 1 d x$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $e^{x}]_{- 1}^{1}$ et $x]_{- 1}^{1}$ .

$e^{x} + x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $e^{x} + x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 10.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 10.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Étape 10.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Étape 10.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Étape 10.2.3.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 10.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{1 + 1}{3}$

Étape 10.2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{2}{3}$

Étape 10.2.3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$e + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Étape 10.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Étape 10.2.3.11

Soustrayez $2$ de $3$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Étape 10.2.3.12

Pour écrire $- (e^{- 1} - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.2.3.13

Associez $- (e^{- 1} - 1)$ et $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Étape 10.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{1 - (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Étape 10.2.3.15

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e + \frac{1 - 3 (e^{- 1} - 1)}{3}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{1 - 3 (\frac{1}{e} - 1)}{3}$

Étape 11.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e + \frac{1 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Étape 11.1.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Étape 11.1.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} + 3}{3}$

Étape 11.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e + \frac{1 - \frac{3}{e} + 3}{3}$

Étape 11.1.1.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$e + \frac{4 - \frac{3}{e}}{3}$

Étape 11.1.1.7

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{4 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Étape 11.1.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{\frac{4 e - 3}{e}}{3}$

Étape 11.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e + \frac{4 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 11.1.3

Multipliez $\frac{4 e - 3}{e}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{4 e - 3}{e \cdot 3}$

Étape 11.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$e + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.2

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.3

Associez $e$ et $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e (3 e) + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.5.2

Multipliez $3 e e$ .

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Étape 11.5.2.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.5.2.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 11.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Forme décimale :

$3.68373572 \dots$

Étape 13