Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

Étape 1

Laissez $u = 3 a x + b x^{3}$ . Alors $d u = 3 x d a$ , donc $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 a x + b x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d a}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 a x + b x^{3}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d a} [3 a x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $3 a x$ par rapport à $a$ est $3 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $b x^{3}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b x^{3}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$3 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$3 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Pour écrire $b x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.2

Associez $b x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.4

Déplacez $3$ à gauche de $b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.5

Additionnez $- b x^{2}$ et $3 b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ par $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.7

Associez.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $3 x$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.10.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.10.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Étape 2.14

Multipliez $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3 x}$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

Étape 2.15

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

Étape 2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

Étape 2.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

Étape 2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

Étape 2.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9 x^{2}}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9 x^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Développez $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{1}{2}}$ et $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 7

Comme $2 b x^{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $2 b x^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$