Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{4} e^{- t}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $t^{4}$ et $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ et $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $t^{4}$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Étape 6.2.6

Associez $e^{- t}$ et $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Étape 6.2.7

Associez $4$ et $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Étape 6.2.8

Associez $\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ et $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 6.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Étape 6.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Étape 6.2.10

Annulez le facteur commun à $t^{3}$ et $t^{4}$ .

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Étape 6.2.10.1

Factorisez $t^{3}$ à partir de $4 t^{3}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Étape 6.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.10.2.1

Factorisez $t^{3}$ à partir de $t^{4}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Étape 6.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Étape 6.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{t} - 1$