Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Étape 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Étape 1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.5.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.5.2

Annulez le facteur commun à ${(1 + 4 x)}^{2}$ et $1 + 4 x$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Factorisez $1 + 4 x$ à partir de $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Étape 1.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Étape 1.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Étape 1.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Étape 1.1.5.2.2.4

Divisez $B (1 + 4 x)$ par $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Étape 1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Étape 1.1.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = A + B + 4 B x$

Étape 1.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.6.1

Déplacez $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Étape 1.1.6.2

Déplacez $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Étape 1.1.6.3

Remettez dans l’ordre $A$ et $4 x B$ .

$x = 4 x B + A + B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 4 B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $B$ dans $1 = 4 B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $4 B = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 B = 1$ par $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = A + B$ par $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 1.3.3

Résolvez $A$ dans $0 = A + \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A + \frac{1}{4} = 0$ .

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Étape 1.5.3

Déplacez $4$ à gauche de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Étape 1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Étape 1.5.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 1 + 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 1 + 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4$

Étape 5.1.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 6.2

Déplacez $4$ à gauche de ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 8.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.2.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 1 + 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 1 + 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Étape 11.1.2

Différenciez.

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Étape 11.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 11.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 11.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 11.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Étape 11.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4$

Étape 11.1.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Étape 12.2

Déplacez $4$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Étape 13

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2

Simplifiez

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Étape 16.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2.2

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$