Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} d x$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ à $\sec^{2} (3 x)$ .

$\int \sec^{2} (3 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $\sec^{2} (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$