Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Étape 5

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Factorisez la fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Étape 5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Étape 5.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Étape 5.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Étape 5.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.5

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun de $2^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.7

Annulez le facteur commun de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.1

Annulez le facteur commun de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.1.2

Divisez $(A) \cdot (2^{3})$ par $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.3

Déplacez $8$ à gauche de $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.4

Annulez le facteur commun à ${(1 - 4 x)}^{3}$ et ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.4.1

Factorisez ${(1 - 4 x)}^{2}$ à partir de $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.4.2.4

Divisez $B (2^{3} (1 - 4 x))$ par $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.10

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.11

Annulez le facteur commun à ${(1 - 4 x)}^{3}$ et $1 - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.11.1

Factorisez $1 - 4 x$ à partir de $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Étape 5.1.8.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Étape 5.1.8.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Étape 5.1.8.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Étape 5.1.8.11.2.4

Divisez $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Étape 5.1.8.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Étape 5.1.8.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Étape 5.1.8.14

Réécrivez ${(1 - 4 x)}^{2}$ comme $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Étape 5.1.8.15

Développez $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Étape 5.1.8.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Étape 5.1.8.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 5.1.8.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.16.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 5.1.8.16.1.2

Multipliez $- 4 x$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 5.1.8.16.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Étape 5.1.8.16.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Étape 5.1.8.16.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.16.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Étape 5.1.8.16.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Étape 5.1.8.16.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Étape 5.1.8.16.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Étape 5.1.8.17

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 5.1.8.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.18.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 5.1.8.18.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 5.1.8.18.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Étape 5.1.8.19

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.19.1

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Étape 5.1.8.19.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Étape 5.1.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.9.1

Déplacez $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Étape 5.1.9.2

Déplacez $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Étape 5.1.9.3

Déplacez $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Étape 5.1.9.4

Déplacez $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.1.9.5

Déplacez $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.1.9.6

Remettez dans l’ordre $- 32 x B$ et $128 C x^{2}$ .

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 128 C$

Étape 5.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 32 B - 64 C$

Étape 5.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Résolvez $C$ dans $0 = 128 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $128 C = 0$ .

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.1.2

Divisez chaque terme dans $128 C = 0$ par $128$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $128 C = 0$ par $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $128$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.1.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.3.1

Divisez $0$ par $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = - 32 B - 64 C$ par $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1

Multipliez $- 64$ par $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.2.2.1.2

Additionnez $- 32 B$ et $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 5.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Simplifiez $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 5.3.2.4.1.2

Additionnez $8 A + 8 B$ et $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 32 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 32 B = 0$ .

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 5.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 32 B = 0$ par $- 32$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 32 B = 0$ par $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 5.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 5.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 8 A + 8 B$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Simplifiez $8 A + 8 (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.4.2.1.2

Additionnez $8 A$ et $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.5

Résolvez $A$ dans $1 = 8 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $8 A = 1$ .

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.5.2

Divisez chaque terme dans $8 A = 1$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $8 A = 1$ par $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.5.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 5.3.6

Résolvez le système d’équations.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Étape 5.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Étape 5.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 5.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 5.5.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 5.5.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 5.5.4

Divisez $0$ par ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 5.5.5

Divisez $0$ par $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Étape 5.5.6

Supprimez le zéro de l’expression.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{8}$ et $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Étape 8

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Étape 8.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 8.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 8.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Étape 9.3

Déplacez $4$ à gauche de $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 12.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 12.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 12.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réécrivez $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ comme $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Étape 14.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 14.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Étape 14.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 14.2.4

Multipliez $\frac{5}{32}$ par $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 14.2.5

Multipliez $\frac{5}{32}$ par $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Étape 14.2.6

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$