Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - x e^{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 3.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Étape 3.4.2.1.2

Soustrayez $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$