Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Étape 1.3.1.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Étape 1.3.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

Étape 1.3.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.5

Soustrayez $10 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \tan (3 x - 3)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x - 3$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Étape 3.8

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

Étape 3.14

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

Étape 3.15

Multipliez $3$ par $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $12$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{- 5}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (3 x - 3)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Étape 11

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Associez.

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Étape 13.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Étape 13.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 13.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

Étape 13.3.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

Étape 13.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

Étape 13.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{- 5}{6}$

Étape 13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{6}$