Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 5.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{\tan (t)}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 5.2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Étape 5.2.3.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Étape 6

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$