Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$

Étape 1

Écrivez $x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$ comme une fonction.

$f (x) = x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{5} d x + \int - 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int - 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Étape 6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Étape 8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{x^{6}}{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} x^{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} x^{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$