Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \sqrt{x^{2} + 9}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 9}$ comme ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.7.3

Placez ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $5$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 4.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 4.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 4.11.2

Associez $2$ et $\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.11.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.11.4

Associez $\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{10 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.5

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$