Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.1.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x}$ comme ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $6 (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.5

Comme $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.13

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.14

Associez $6^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.15

Déplacez $2$ à gauche de $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.17

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.3.18

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Étape 2.3.8

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $6^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\sqrt{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Étape 3.4

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sqrt{6}$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$1$