Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

Multipliez.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + 1 \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4.3

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (x) (2 \cos (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4.4

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$